自由钟因那道著名的裂纹而闻名，180年来从未被敲响过，但这并没有阻止科学家们思考它鸣响时究竟是什么声音。为纪念美国建国250周年，宾夕法尼亚州立大学的研究人员基于一座自由钟复制品收集的数据，对其声学特性进行了建模。这项研究今年早些时候首次在费城举行的美国声学学会会议上发表，随后又刊登于《今日物理》杂志。
历史学家并不确定自由钟究竟是在何时出现那道独特裂纹的，只知道这发生在1817年到1846年之间。1846年《公共纪事报》的一篇报道描述了当年2月23日自由钟的鸣响，提到钟体已经出现裂纹，有人曾试图通过锉削两侧来修复它。但这并未成功：2月23日的那次鸣响反而让裂纹进一步扩大，以至于“这座古老的独立钟……如今悬挂在高大的钟楼中，裂痕无法修复，从此永远沉寂”。自那以后，再也没有人听过它的钟声。
这并非自由钟第一次出现裂纹。早在1752年它刚抵达费城、第一次试敲测试音色时，钟边缘就已出现裂纹。当地两名铸造工人约翰·帕斯和约翰·斯托对其进行了重铸，而且不止一次，是两次——因为第一次重铸出来的声音被一位旁观者形容为“像煤斗相互碰撞的声音”。
第二次重铸的声音被认为可以接受，此后这座钟通常用于召集议会等用途，直到美国独立战争结束后逐渐弃用。至于这座钟为何如此容易出现裂纹，1975年一项针对该钟化学成分的研究显示，铸造所用的金属形成了“一种极其脆弱的合金”，这也使得纪念品收藏者更容易从钟边缘敲下碎片。
模态频率
关于钟的一般声学特性，我们其实早有了解，这可以追溯到托马斯·D·罗辛与罗伯特·佩林1987年发表的一篇开创性论文，该文探讨了教堂钟、排钟和手摇铃的形态与振动模式。一座钟的声音取决于相对简单的几何形状——它决定了向听众耳中传播声音的振动模式——以及制作材料（青铜），后者决定了钟声的确切音高和持续时间。
据这篇最新文章的合著者肖恩·科利尔介绍，仅依靠网上关于自由钟的有限资料来还原其声音，会得到“一个听起来很糟糕的钟声，其现场效果与这座标志性钟的轮廓完全不符”。20世纪曾制作过多座自由钟的全尺寸复制品，其中一座就陈列在宾夕法尼亚州立大学比尔分校校园内，人们可以敲击它来发出声音。但科学家们想要获取更多定量信息，比如具体的音符、哪些音符鸣响时间最长，以及钟体振动时如何变形。这就需要用到模态分析技术，这是钟铸造商用于评估调音并进行必要修正的常用方法。
举例来说，据作者介绍，西方教堂钟通常会按照明确的理想比例，调整到前五个常规频率——嗡鸣音、基频（人耳最容易感知到的主导音）、三度音、五度音和标称音。“从音乐角度来看，这些频率组合听起来像是一个小三和弦，这也是为什么教堂钟声通常给人一种低沉忧郁的感觉，”他们写道。此外，“人耳感知到的钟声音高是一种被称为‘敲击音’的主观音调”，它源于各振动模式形状之间的相互作用，以及听者自身的预期心理。
科利尔与合著者乔恩·扬和亚伦·斯特恩斯利用宾夕法尼亚州立大学比尔分校的那座复制品，采集了关于振动模式形状、固有频率和损耗因子的数据。他们将加速度计粘贴在复制品的不同部位，然后用配备力传感器的锤子敲击钟体的各个区域。加速度计记录下钟体受到敲击后的响应，力传感器则测量撞击力随时间变化的情况。
随后，作者从这些数据中提取出钟体的固有振动频率，以及相应的振动模式形状和损耗因子。结果显示：复制品的嗡鸣音为174赫兹；基频为323赫兹；三度音为381赫兹；五度音为510赫兹；标称音为623赫兹。这些频率之间的比例与理想调音钟的比例非常接近。而基频的振动模式形状也与典型西方教堂钟高度吻合。
测量损耗因子被证明是最棘手的部分。科利尔等人测得的数值处于典型范围之内，但损耗因子会受到所用青铜类型以及铸造缺陷的影响。制作这座复制品所采用的20世纪铸钟工艺，与18世纪铸造原版自由钟时所用的工艺不同。因此两者的损耗因子可能相似，但也可能存在差异，这一点更难以准确预测。
《今日物理》，2026年。DOI: 10.1063/pt.103283cd08（关于DOI）。
Q&A
Q1：自由钟为什么会出现裂纹，一直沉寂至今？
A：自由钟自1752年抵达费城首次试敲时就出现过裂纹，后经两次重铸才被接受。此后在1817年至1846年间再次出现裂纹，1846年2月23日的一次鸣响使裂纹进一步扩大，最终彻底损坏，从此180年未再被敲响。
Q2：科学家是如何研究自由钟原本声音的？
A：由于自由钟早已无法敲响，宾夕法尼亚州立大学研究人员利用一座20世纪制作的全尺寸复制品，通过粘贴加速度计并用带力传感器的锤子敲击钟体不同部位，采集振动数据，再通过模态分析提取出固有频率、振动模式形状和损耗因子，从而推测原钟可能的声音特征。
Q3：自由钟复制品测得的声音频率是什么样的？
A：研究测得复制品的嗡鸣音为174赫兹，基频为323赫兹，三度音为381赫兹，五度音为510赫兹，标称音为623赫兹，这些频率比例与理想调音的西方教堂钟非常接近。
